Cara Mencari Determinan Matriks

>Halo Sohib EditorOnline! Pada artikel ini kita akan membahas tentang cara mencari determinan matriks. Sebelum kita mulai, mari kita bahas terlebih dahulu apa itu determinan matriks.

Apa Itu Determinan Matriks?

Determinan matriks merupakan besaran skalar yang digunakan untuk menghitung sifat-sifat matriks. Nilai determinan matriks tergantung pada ordo atau ukuran dari matriks tersebut. Ada banyak cara untuk mencari determinan matriks, namun pada artikel ini kita akan membahas beberapa cara yang umum digunakan.

Cara 1: Metode Reduksi Baris

Salah satu cara untuk mencari determinan matriks adalah dengan menggunakan metode reduksi baris. Metode ini hanya bisa digunakan pada matriks persegi. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah	Penjelasan
1	Matriks awal
2	Pertukaran baris atau kolom jika terdapat elemen diagonal utama yang bernilai nol
3	Operasi baris atau kolom: pengurangan atau penjumlahan baris atau kolom tertentu dengan baris atau kolom lainnya
4	Matriks hasil reduksi
5	Perhitungan determinan dengan mengalikan seluruh elemen diagonal utama dari matriks hasil reduksi

Berikut adalah contoh perhitungan determinan matriks menggunakan metode reduksi baris:

2	4	-1
1	2	1
4	1	2

Langkah 1: Matriks awal

2	4	-1
1	2	1
4	1	2

Langkah 2: Tidak perlu melakukan pertukaran baris atau kolom

Langkah 3: Operasi baris atau kolom

Misalkan kita ingin mengurangi baris 2 dengan 2 kali baris 1:

2	4	-1
1	2	1
4-2×1	1-2×4	2-1x(-1)
4	1	2

Langkah 4: Matriks hasil reduksi

2	4	-1
1	2	1
0	-7	4
4	1	2

Langkah 5: Perhitungan determinan

Determinan matriks dihitung dengan mengalikan seluruh elemen diagonal utama dari matriks hasil reduksi, yaitu:

Determinan = 2x2x(-7)x2 = -56

Cara 2: Metode Ekspansi Kofaktor

Metode ekspansi kofaktor bisa digunakan untuk mencari determinan matriks berukuran apapun. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah	Penjelasan
1	Matriks awal
2	Pilih salah satu baris atau kolom dari matriks
3	Tentukan kofaktor untuk setiap elemen pada baris atau kolom yang dipilih
4	Hitung determinan matriks kecil yang terbentuk dari kofaktor
5	Multipikasikan setiap kofaktor dengan elemen yang sesuai pada baris atau kolom yang dipilih, kemudian tambahkan hasilnya
6	Perhitungan determinan dengan menjumlahkan hasil perkalian yang didapat pada langkah 5

Berikut adalah contoh perhitungan determinan matriks menggunakan metode ekspansi kofaktor:

1	2	-3
2	3	1
3	1	2

Langkah 1: Matriks awal

1	2	-3
2	3	1
3	1	2

Langkah 2: Pilih baris 1

Langkah 3: Tentukan kofaktor

Kofaktor dari matriks kecil yang terbentuk dari elemen pada baris 1 dan kolom 1 adalah:

K1,1 = (-1)^(1+1) x (3×2-1×1) = -5

K1,2 = (-1)^(1+2) x (3×1-(-3)2) = -3

K1,3 = (-1)^(1+3) x (2×2-(-3)3) = 1

Langkah 4: Hitung determinan matriks kecil

Determinan matriks kecil yang terbentuk dari elemen pada baris 2 dan 3 serta kolom 2 dan 3 adalah:

3	1
1	2

Determinan matriks kecil dihitung dengan menggunakan metode reduksi baris:

Determinan = 3×2-1×1 = 5

Langkah 5: Multipikasikan setiap kofaktor dengan elemen yang sesuai pada baris 1, kemudian tambahkan hasilnya

1(-5)+2(-3)+(-3)(1) = -14

Langkah 6: Hitung determinan dengan menjumlahkan hasil perkalian yang didapat pada langkah 5

Determinan = -14×1 = -14

Cara 3: Metode OBE (Operasi Baris Elementer)

Metode OBE juga bisa digunakan untuk mencari determinan matriks. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Langkah	Penjelasan
1	Matriks awal
2	Kalikan atau bagi satu baris dengan angka tertentu sehingga elemen diagonal utama menjadi satu
3	Gunakan operasi baris elementer untuk membuat elemen di bawah diagonal utama menjadi nol
4	Multipikasikan elemen diagonal utama

Berikut adalah contoh perhitungan determinan matriks menggunakan metode OBE:

1	2	3
2	3	1
-1	2	-1

Langkah 1: Matriks awal

1	2	3
2	3	1
-1	2	-1

Langkah 2: Kalikan baris 1 dengan 2, kemudian kurangi dari baris 2

Langkah 3: Gunakan operasi baris elementer untuk membuat elemen di bawah diagonal utama menjadi nol

Langkah 4: Multipikasikan elemen diagonal utama

Determinan = 1x3x(-1) = -3

FAQ

1. Bagaimana cara mengetahui ukuran atau ordo matriks?

Jawaban: Ukuran atau ordo matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang ada pada matriks tersebut. Misalnya, jika terdapat 3 baris dan 3 kolom, maka matriks tersebut berordo 3×3.

2. Apa yang dimaksud dengan matriks persegi?

Jawaban: Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Sebagai contoh, matriks berikut merupakan matriks persegi:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

3. Apakah determinan matriks selalu bisa dihitung?

Jawaban: Tidak selalu. Determinan matriks hanya bisa dihitung pada matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Jika matriks tidak memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom, maka determinan tidak bisa dihitung.

4. Apakah ada batasan ukuran matriks untuk menghitung determinan dengan metode ekspansi kofaktor?

Jawaban: Tidak ada batasan ukuran matriks untuk metode ekspansi kofaktor, namun semakin besar ukuran matriks maka semakin rumit dan memakan waktu untuk menghitung determinannya.

5. Apakah metode OBE selalu lebih cepat daripada metode reduksi baris atau metode ekspansi kofaktor?

Jawaban: Tidak selalu. Kecepatan metode OBE tergantung pada matriksnya sendiri. Ada matriks yang lebih mudah dihitung determinannya dengan metode OBE, namun ada matriks yang lebih mudah dihitung dengan metode reduksi baris atau metode ekspansi kofaktor.

Cara Mencari Determinan Matriks