Cara Invers Matriks

>Hello Sohib EditorOnline, are you struggling with matrix inversions? Don’t worry, in this article we will discuss various methods of matrix inversion that will hopefully help you understand the process better.

Definisi Matriks Invers

Matriks invers adalah kebalikan dari matriks, yang jika dikalikan dengan matriks tersebut maka akan menghasilkan matriks identitas. Dalam bahasa matematika, jika A adalah suatu matriks, dan A^-1 adalah matriks inversnya, maka A * A^-1 = I, dimana I adalah matriks identitas.

Matriks invers hanya tersedia untuk matriks persegi (matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama), dan hanya bisa dihitung jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Metode Gauss-Jordan

Salah satu metode yang paling umum digunakan untuk menghitung matriks invers adalah metode Gauss-Jordan. Metode ini melibatkan mengubah matriks awal menjadi matriks identitas dengan operasi baris dasar, dan kemudian menggunakan operasi yang sama pada matriks identitas untuk mendapatkan matriks invers.

Langkah-langkah metode Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

1. Masukkan matriks awal A beserta matriks identitas I ke dalam satu matriks yang disebut sebagai matriks augmented A
2. Lakukan operasi baris dasar pada matriks augmented A untuk membuat diagonal utama menjadi 1 dan semua elemen lain pada kolom tersebut menjadi 0
3. Lakukan langkah 2 pada semua diagonal utama pada matriks augmented A untuk membuat seluruh diagonal utama menjadi 1 dan seluruh elemen lain pada kolom tersebut menjadi 0
4. Hasilkan matriks invers dari matriks awal yang diberikan dengan memilih kolom dari matriks augmented yang awalnya berisi matriks identitas

Contoh:

Misalkan kita diberikan matriks A:

1	2
3	4

Untuk menghitung matriks inversnya, kita perlu memperluas matriks A menjadi matriks augmented A dengan menambahkan matriks identitas:

1	2	1	0
3	4	0	1

Kemudian kita akan melakukan operasi baris dasar pada matriks augmented ini:

1	2	1	0
0	-2	-3	1

Selanjutnya, kita melakukan operasi yang sama pada kolom kedua, sehingga diagonal utama menjadi 1:

1	0	7/2	-1
0	1	3/2	-1/2

Kita dapat melihat bahwa matriks augmented ini sekarang berisi matriks identitas pada kolom 3 dan 4, sehingga kita dapat menghasilkan matriks invers untuk matriks awal A:

-2	1
3/2	-1/2

Metode Adjoint

Metode Adjoint adalah metode alternatif lain yang dapat digunakan untuk menghitung matriks invers. Metode ini melibatkan menghitung matriks adjoint dari matriks awal, dan kemudian membaginya dengan determinan matriks awal untuk mendapatkan matriks invers.

Matriks adjoint adalah matriks yang diperoleh dari matriks kofaktor dengan menukar baris dan kolomnya, dan kemudian mengubah tanda dari setiap elemen dalam baris atau kolom yang berjumlah ganjil. Matriks kofaktor adalah matriks yang diperoleh dari matriks awal dengan mengganti setiap elemen dengan kofaktornya.

Kofaktor adalah hasil kali dari determinan matriks minor (matriks yang dihasilkan dari menghilangkan satu baris dan satu kolom dari matriks awal) dengan (-1) pangkat (baris + kolom).

Langkah-langkah Metode Adjoint:

1. Hitung matriks kofaktor dari matriks awal
2. Hitung matriks adjoint dari matriks kofaktor
3. Bagi matriks adjoint dengan determinan matriks awal untuk mendapatkan matriks invers

Contoh:

Misalkan kita diberikan matriks A:

1	2
3	4

Langkah pertama adalah menghitung matriks kofaktor dari matriks ini:

4	-3
-2	1

Selanjutnya, kita hitung matriks adjoint dari matriks kofaktor:

4	-2
-3	1

Terakhir, kita bagi matriks adjoint dengan determinan matriks awal:

-2	1
3/2	-1/2

FAQ

1. Apa itu matriks invers?

Matriks invers adalah kebalikan dari matriks, yang jika dikalikan dengan matriks tersebut maka akan menghasilkan matriks identitas.

2. Apakah setiap matriks memiliki invers?

Setiap matriks persegi (matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama) memiliki potensi untuk memiliki matriks invers, tetapi matriks tersebut hanya bisa dihitung jika determinannya tidak sama dengan nol.

3. Apa saja metode yang dapat digunakan untuk menghitung matriks invers?

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung matriks invers adalah metode Gauss-Jordan dan metode Adjoint.

4. Bagaimana cara menghitung matriks invers menggunakan metode Gauss-Jordan?

Langkah-langkah metode Gauss-Jordan untuk menghitung matriks invers adalah:

1. Masukkan matriks awal beserta matriks identitas ke dalam satu matriks yang disebut sebagai matriks augmented
2. Lakukan operasi baris untuk membuat diagonal utama menjadi 1 dan seluruh elemen lain pada kolom tersebut menjadi 0
3. Lakukan langkah 2 pada semua diagonal utama untuk membuat diagonal utama menjadi 1 dan seluruh elemen lain pada kolom tersebut menjadi 0
4. Pilih kolom dari matriks augmented yang awalnya berisi matriks identitas untuk menghasilkan matriks invers

5. Bagaimana cara menghitung matriks invers menggunakan metode Adjoint?

Langkah-langkah metode Adjoint untuk menghitung matriks invers adalah:

1. Hitung matriks kofaktor dari matriks awal
2. Hitung matriks adjoint dari matriks kofaktor
3. Bagi matriks adjoint dengan determinan matriks awal untuk mendapatkan matriks invers

Cara Invers Matriks